f“(x) < 0 → f rechtsgekrümmt (konkav) an der Stelle x. 1 f“(x) > 0 → f linksgekrümmt (konvex) an der Stelle x. 2 f“(x) = 0 → keine. 3 Wenn die 2. Ableitung negativ ist, ist die Funktion rechtsgekrümmt. Wenn die 2. Ableitung positiv ist, ist die Funktion linksgekrümmt. Wenn die 2. 4 Wenn in der 2. Ableitung der Funktion ein $x$ vorkommt, handelt es sich in der Regel um eine Funktion, die linksgekrümmte und rechtsgekrümmte Bereiche hat. Diese Bereiche oder Intervalle lassen sich berechnen, indem man überlegt, wo die 2. Ableitung kleiner (größer) Null ist. Wann ist die 2. Ableitung kleiner Null?. 5 Krümmung berechnen. Um das Krümmungsverhalten einer Funktion f herauszufinden, musst du also zunächst ihre zweite Ableitung f“ berechnen. Dabei gibt es drei Möglichkeiten, wie sie aussehen kann: f“ (x) ist eine negative Zahl (z. B. f“ (x) = – 2) → f ist überall rechtsgekrümmt. 6 Die zweite Ableitung der Funktion f (x) lautet: f " (x) = Es liegt also eine rechts-Krümmung vor. Gegeben ist die Funktion g (x) = x 2. Lösung. Die zweite Ableitung der Funktion f (x) lautet. g " (x) = 2. Es liegt also eine links-Krümmung vor. 7 Bei der Rechtskrümmung ist die zweite Ableitung an der Stelle x kleiner Null: f''(x) Die Rechtskrümmung wird auch als konkav bezeichnet. Die nächste Grafik zeigt zwei rechtsgekrümmte Verläufe. Linkskrümmung: Bei der Linkskrümmung ist die zweite Ableitung an der Stelle x größer als Null: f''(x) > 0. 8 Um zu berechnen, wie der Graph von f f f im Bereich [0, π] \left[0,\pi\right] [0, π] gekrümmt ist, setzt man einen Punkt aus diesem Intervall in die zweite Ableitung ein und betrachtet das Vorzeichen: Es ist dabei egal, welchen Punkt aus dem Intervall man nimmt, denn das Krümmungsverhalten zwischen zwei Wendepunkten ändert sich nicht. 9 Der Krümmungskreis einer Normalparabel in ihrem Scheitelpunkt hat den Radius 0,5. Für die Normalparabel gilt: Setzt man in (4) ein, folgt für den Krümmungsradius: An der Stelle x=0 beträgt der Krümmungsradius r=0,5 (siehe Abbildung). Für große x wächst der Krümmungsradius ~ x 3, die Kurve wird immer gerader. krümmungsverhalten aufgaben 10